1. Bangun Ruang Sisi Lengkung (Tabung, Kerucut, Bola)
GeometriA. Rumus Dasar
- Tabung: Luas permukaan
L = 2πr(r + t), VolumeV = πr²t - Kerucut:
V = 1/3·πr²t,L = πr(r + s)(s = garis pelukis = √(r²+t²)) - Bola:
V = 4/3·πr³,L = 4πr²
Tabung r=7 cm, t=10 cm (π=22/7). V = (22/7)·49·10 = 1540 cm³.
Bola r=7 cm → L=4πr²=4·(22/7)·49=616 cm².
B. Penerapan
Desain tangki, kaleng minuman, kerucut lalu lintas, volume balon/bola.
C. Latihan
- Kerucut r=6 cm, t=8 cm (π=3,14). Hitung V dan L.
- Tabung r=14 cm, t=20 cm (π=22/7). Hitung V.
- Bola r=10 cm. Hitung L dan V (π=3,14).
- V=⅓·3,14·36·8=301,44 cm³; s=√(36+64)=10 → L=3,14·6·(6+10)=3,14·6·16=301,44 cm².
- V=(22/7)·196·20= (22/7)·3920= 12320 cm³.
- L=4·3,14·100=1256 cm²; V=4/3·3,14·1000≈ 4186,67 cm³.
Kuis: Bangun Ruang Sisi Lengkung
Soal 1: Volume tabung = πr²t = (22/7) × 7² × 10 = (22/7) × 49 × 10 = 22 × 7 × 10 = 1540 cm³
Soal 2: Luas permukaan bola = 4πr² = 4 × (22/7) × 7² = 4 × (22/7) × 49 = 4 × 22 × 7 = 616 cm²
Soal 3: Volume kerucut = ⅓ × πr²t = ⅓ × 3,14 × 6² × 8 = ⅓ × 3,14 × 36 × 8 = ⅓ × 904,32 = 301,44 cm³
Soal 4: Garis pelukis = √(r² + t²) = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 cm
Soal 5: Volume bola = 4/3 × πr³ = 4/3 × 3,14 × 6³ = 4/3 × 3,14 × 216 = 4 × 3,14 × 72 = 4 × 226,08 = 904,32 cm³
2. Transformasi Geometri (Translasi, Refleksi, Rotasi, Dilatasi)
GeometriA. Konsep
- Translasi: geser titik
(x,y) → (x+a, y+b) - Refleksi: cermin terhadap sumbu/garis (mis. terhadap sumbu-Y:
(x,y)→(−x,y)) - Rotasi: putar dengan pusat dan sudut tertentu (mis. 90° CCW:
(x,y)→(−y,x)) - Dilatasi: perbesaran/pengecilan faktor skala k:
(x,y)→(kx, ky)
Titik A(2,−1) ditranslasi oleh (3,4) → A'(5,3).
A(2,−1) direfleksi sumbu-X → A'(2,1).
A(2,−1) dirotasi 90° CCW → A'(1,2).
Dilatasi k=2 → A'(4,−2).
B. Penerapan
Grafik komputer, desain motif batik, animasi game, geolokasi peta.
C. Latihan
- Titik P(−3,4) direfleksi terhadap sumbu-Y. Tentukan koordinatnya.
- Q(1,2) dirotasi 180° terhadap titik asal. Koordinat baru?
- R(−2,5) didilatasi faktor ½. Koordinat baru?
- (3,4)
- (−1,−2)
- (−1, 2,5)
Kuis: Transformasi Geometri
Soal 1: Translasi (x,y) → (x+a, y+b) = (3+2, 4+(-1)) = (5,3)
Soal 2: Refleksi terhadap sumbu-X: (x,y) → (x,-y) = (-2,-5)
Soal 3: Rotasi 90° CCW: (x,y) → (-y,x) = (-3,4)
Soal 4: Dilatasi faktor skala k: (x,y) → (kx, ky) = (1/2 × 6, 1/2 × 8) = (3,4)
Soal 5: Refleksi terhadap sumbu-Y: (x,y) → (-x,y) = (3,2)
3. Program Linear Sederhana
AljabarA. Konsep
Menentukan nilai maksimum/minimum fungsi tujuan linear z = ax + by dengan kendala linear (ketidaksamaan) pada daerah himpunan penyelesaian (feasible region).
B. Langkah Umum
- Nyatakan kendala sebagai pertidaksamaan (mis.
x ≥ 0, y ≥ 0). - Gambar garis batas dan arsir daerah solusi.
- Evaluasi fungsi tujuan di titik pojok (vertex) daerah solusi.
Maksimalkan
z = 5x + 4y dgn kendala: x + y ≤ 10, 2x + y ≤ 14, x,y ≥ 0.Titik pojok: (0,0), (0,10), (7,0), dan perpotongan: dari x+y=10 & 2x+y=14 → x=4, y=6.
Nilai z: (0,10)→40; (7,0)→35; (4,6)→5·4+4·6=20+24=44 (maksimum di (4,6)).
C. Penerapan
Optimasi produksi, alokasi bahan baku, penjadwalan waktu.
D. Latihan
- Maksimalkan
z=3x+2ydenganx+y ≤ 8,x ≤ 6,y ≤ 5,x,y ≥ 0. Tentukan titik optimal dan z maksimum. - Minimalkan
z=2x+5ypada kendalax+2y ≥ 6,3x+y ≥ 6,x,y ≥ 0(petakan daerah dan pilih titik pojok terkecil).
- Pojok: (0,0),(0,5),(6,0),(3,5) (dari x+y=8 & y=5 → x=3). Nilai z: 0, 10, 18, 19 → maksimum di (3,5), z=19.
- Titik pojok (cek perpotongan): dari x+2y=6 & 3x+y=6 → x=2, y=2 (memenuhi). Evaluasi z di (0,6),(6,0),(2,2) → z: 30,12,14 → minimum di (6,0), z=12 (perlu cek seluruh daerah layak sesuai ketidaksamaan ≥).
Kuis: Program Linear Sederhana
Soal 1: z = 4x + 5y = 4(3) + 5(2) = 12 + 10 = 22
Soal 2: Pada program linear, nilai optimum (maksimum/minimum) diperoleh dengan mengevaluasi fungsi tujuan di titik pojok (vertex) daerah feasible.
Soal 3: Titik pojok: (0,0), (0,6), (6,0). Nilai z: (0,0)→0, (0,6)→12, (6,0)→18. Nilai maksimum z adalah 18 di titik (6,0).
Soal 4: Titik pojok: (0,4), (1,3), (5,0). Nilai z: (0,4)→12, (1,3)→11, (5,0)→10. Nilai minimum z adalah 10 di titik (5,0).
Soal 5: Titik pojok: (0,0), (0,5), (4,3), (5,0). Nilai z: (0,0)→0, (0,5)→5, (4,3)→23, (5,0)→25. Nilai maksimum z adalah 25 di titik (5,0).
4. Peluang (Probabilitas Dasar)
PeluangA. Konsep
Peluang kejadian P(A) = n(A)/n(S), dengan n(A) banyaknya hasil yang diinginkan, n(S) banyaknya hasil ruang sampel. Nilai peluang 0 ≤ P(A) ≤ 1.
B. Aturan Dasar
- Komplemen:
P(A') = 1 − P(A) - Gabungan (kejadian saling lepas):
P(A ∪ B) = P(A)+P(B) - Perkalian (kejadian independen):
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koin dilempar 2 kali, peluang tepat 1 gambar? Ruang sampel: {GG, GA, AG, AA} → 4. Tepat satu gambar: {GA, AG} → 2. Jadi P = 2/4 = 1/2.
C. Penerapan
Undian, permainan peluang sederhana, kualitas produk (cacat/tidak).
D. Latihan
- Sebuah dadu enam sisi dilambungkan. Peluang muncul bilangan genap?
- Ambil satu kartu dari 52 kartu (tanpa joker). Peluang kartu hati (♥)?
- Koin dilempar 3 kali. Peluang muncul tepat 2 gambar?
- Genap: {2,4,6} → 3/6 = 1/2.
- Hati: 13 dari 52 → 1/4.
- Kombinasi C(3,2)=3; total 8 → 3/8 = 0,375.
Kuis: Peluang
Soal 1: Bilangan prima pada dadu: {2,3,5} → 3 dari 6 kemungkinan → 3/6 = 1/2
Soal 2: Jumlah kartu As pada setumpuk kartu bridge: 4 dari 52 kartu → 4/52 = 1/13
Soal 3: Kelereng merah: 4 dari total 10 kelereng → 4/10 = 2/5
Soal 4: Kemungkinan jumlah mata dadu 7: {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} → 6 dari 36 kemungkinan → 6/36 = 1/6
Soal 5: Ruang sampel: 2³ = 8. Tepat 2 angka: {AAG, AGA, GAA} → 3 dari 8 kemungkinan → 3/8
5. Trigonometri Dasar (Segitiga Siku-Siku)
TrigonometriA. Perbandingan Trigonometri
Pada segitiga siku-siku dengan sudut θ, sisi depan (depan θ), sisi samping (sebelah θ), sisi miring (hipotenusa) c:
sin θ = (depan)/(miring)cos θ = (samping)/(miring)tan θ = (depan)/(samping)
Jika segitiga siku-siku dengan sisi miring 13 dan sisi samping 5, maka cos θ = 5/13. Sisi depan = √(13²−5²)=√(169−25)=√144=12 → sin θ=12/13, tan θ=12/5.
B. Penerapan
Mengukur tinggi pohon/gedung dengan sudut elevasi, kemiringan jalan, navigasi.
C. Latihan
- Segitiga siku-siku dengan sisi miring 10 dan sisi depan 6. Tentukan sin, cos, tan θ.
- Sebuah gedung diamati dari jarak 30 m dengan sudut elevasi 45°. Perkirakan tinggi gedung (abaikan tinggi mata).
- Jika tan θ = 3/4 dan segitiga siku-siku, tentukan sin θ dan cos θ (θ tajam).
- samping = √(10²−6²)=8 → sin=6/10=0,6; cos=8/10=0,8; tan=6/8=0,75.
- tan 45°=1 → tinggi ≈ jarak = 30 m.
- tan=depan/samping=3/4 → miring=5 (tripel 3-4-5). Maka sin=3/5, cos=4/5.
Kuis: Trigonometri Dasar
Soal 1: sin θ = depan/miring = 3/5
Soal 2: cos θ = samping/miring = 8/17, maka sisi depan = √(17² – 8²) = √(289 – 64) = √225 = 15. Jadi sin θ = depan/miring = 15/17
Soal 3: tan θ = depan/samping = 5/12, maka sisi miring = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13. Jadi sin θ = depan/miring = 5/13
Soal 4: tan θ = depan/samping = tinggi/jarak = 20/15 = 4/3
Soal 5: sin θ = 0,6 = 3/5, maka sisi samping = √(5² – 3²) = √(25 – 9) = √16 = 4. Jadi cos θ = samping/miring = 4/5 = 0,8
Pertanyaan yang Sering Diajukan (FAQ)
Bagaimana urutan belajar yang disarankan?
Mulai dari geometri (BRSL & transformasi) atau aljabar (program linear), lalu lanjut peluang dan trigonometri agar konsepnya saling menguatkan.
Bisakah soal diperluas untuk asesmen sumatif?
Bisa, tambahkan variasi konteks real, grafik, dan kombinasi beberapa konsep (misal trigonometri + Pythagoras).
Eksplorasi konten lain dari Pustaka Cerdas
Berlangganan untuk dapatkan pos terbaru lewat email.
